Summer Babe (Phiên bản mùa đông) - Wikipedia

Trong toán học, Ext functor của đại số tương đồng là các hàm functor của Hom functor. Chúng lần đầu tiên được sử dụng trong cấu trúc liên kết đại số, nhưng phổ biến trong nhiều lĩnh vực toán học. Tên "Ext" xuất phát từ lý thuyết nhóm, vì Ext functor được sử dụng trong cohomology nhóm để phân loại các phần mở rộng nhóm abelian. ^[1]

Định nghĩa và tính toán [ chỉnh sửa ]

Hãy R là một chiếc nhẫn và đặt Mod _R là danh mục của các mô-đun trên R . Đặt B ở chế độ Mod _R và đặt T ( B ) = Hom _R ( , B ), đã sửa A trong Mod _R . Đây là một functor chính xác bên trái và do đó có functor bên phải R ⁿ T . Functor Ext được định nghĩa bởi

${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_R^n\; <!--\; \; -->(AB)=({\mathrm{]\; n}}^{}}$

${ displaystyle 0 to B to I ^ {0} to I ^ {1} to cdots,}$

và tính toán

Sau đó ( R ⁿ T ) ( B ) là tương đồng của phức hợp này. Lưu ý rằng Hom _R ( A, B ) được loại trừ khỏi phức hợp.

Một định nghĩa thay thế được đưa ra bằng cách sử dụng functor G ( A ) = Hom _R ( A, B ). Đối với một mô-đun cố định B đây là một functor trái chính xác, và do đó chúng tôi cũng có functor có nguồn gốc phải R ⁿ G và có thể định nghĩa

${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_R^n\; <!--\; \; -->(AB)=({\mathrm{]\; n}}^{}}$

${ displaystyle dot to P ^ {1} đến P ^ {0} đến A đến 0,}$

và tiến hành song song bằng máy tính

${ displaystyle 0 to operatorname {Hom} _ {R} (P ^ {0}, B) to operatorname {Hom} _ {R} (P ^ {1}, B) to cdots.}$

Sau đó ( R ⁿ G ) ( A ) là tương đồng của phức hợp này. Một lần nữa lưu ý rằng Hom _R ( A, B ) bị loại trừ.

Hai công trình này hóa ra mang lại kết quả đẳng cấu, và do đó cả hai có thể được sử dụng để tính toán hàm functor.

Thuộc tính của Ext [ chỉnh sửa ]

Functor Ext thể hiện một số tính chất tiện lợi, hữu ích trong tính toán. ^[2]

• Ext ⁱ
  _R ] ( A B ) = 0 cho i &gt; 0 nếu B là tiêm hoặc A
• Cuộc trò chuyện cũng được tổ chức:
  • If Ext ¹
    _R ( A B ) = 0 cho tất cả A ⁱ
    _R ( A B ) = 0 cho tất cả A và B ] là tiêm chích.
  • If Ext ¹
    _R ( A B ) = 0 cho tất cả B ]sau đó là Ext ⁱ
    _R ( A B ) = 0 cho tất cả B và ] mang tính phóng xạ.
• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} left ( bigoplus nolimits _ { alpha} A _ { alpha}, B right) cong prod nolimits _ { alpha} operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (A _ { alpha}, B).}$
• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} left (A, prod nolimits _ { beta} B _ { beta} right) cong prod nolimits _ { beta} operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (A, B_ { beta}).}$